优化策略：揭秘钢条切割与饼干分发的算法艺术

引言

在生活中，钢条和饼干看似风马牛不相及，但它们的分割与分发却隐藏着惊人的数学魅力。如何最大化利润？如何用有限的资源最大程度满足需求？这便是算法世界中的艺术。今天，我们来揭秘钢条切割与饼干分发的算法设计。本文不仅有趣，也能带你领略算法的美妙和工程师的智慧。

1.钢条切割
1.1题目描述

某公司的主营业务是切割整段钢条并出售，切割钢条的成本和损耗忽略不计。

该公司现有以下长度的钢条：

钢条长度/米	10	12	15
成本/百元	10	12	15

已知不同长度的钢条的出售价格：

钢条长度/米	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
售价/百元	1	5	8	9	10	17	17	20	24	24

假如你是该公司的工程师，试确定每条钢条的切割方式使盈利最大。
经过技术攻关，公司掌握了将钢条焊接的方法，且每次焊接所需成本为1百元，试确定钢条的焊接或/和切割方式使盈利最大。

1.2算法设计 (第一部分：不考虑焊接)

采用动态规划法。dp[i] 表示长度为 i 米钢条的最大收益。状态转移方程：

dp[i] = max(price[i], dp[i-j] + dp[j]) (1 ≤ j ≤ i)

其中 price[i] 为长度为 i 米钢条的售价。

1.3伪代码实现 (第一部分：不考虑焊接)

function max_profit_no_weld(prices, n):
  dp = array of size n+1, initialized to 0
  for i from 1 to n:
    max_p = prices[i]
    for j from 1 to i:
      max_p = max(max_p, dp[i-j] + dp[j])
    dp[i] = max_p
  return dp[n]

1.4算法设计 (第二部分：考虑焊接)

仍然采用动态规划。dp[i] 表示长度为 i 米钢条的最大收益，考虑焊接成本。状态转移方程更加复杂，需要考虑所有可能的切割和焊接组合：

dp[i] = max(price[i], max(dp[j] + dp[i-j] - 1, dp[j] + price[i-j] - 1, price[j] + dp[i-j] - 1)) (1 ≤ j ≤ i/2)

1.5伪代码实现 (第二部分：考虑焊接)

function max_profit_weld(prices, n):
  dp = array of size n+1, initialized to -infinity  // Initialize with a very small value
  dp[0] = 0
  for i from 1 to n:
    dp[i] = prices[i] // Initialize with no cut
    for j from 1 to i/2:
      dp[i] = max(dp[i], dp[j] + dp[i-j] - 1)
      dp[i] = max(dp[i], dp[j] + prices[i-j] - 1)
      dp[i] = max(dp[i], prices[j] + dp[i-j] - 1)
  return dp[n]

2.饼干分发
2.1题目描述

假设你是一个幼儿园园长，现在要给孩子们分发饼干。由于饼干数量有限，每个孩子都只能得到一块饼干。其中，孩子i所需的饼干大小为gi，饼干j的大小为sj,若sj≥gi则孩子能够吃饱。你的目标是尽可能喂饱更多数量的孩子，并输出这个最大数值。

示例1：你有三个孩子和两块小饼干，3个孩子的胃口值分别是：1,2,3。虽然你有两块小饼干，但饼干的尺寸都是1只能让胃口值是1的孩子满足，所以输出1。

输入：g=[1,2,3],s=[1,1]

输出：1

示例2：你有两个孩子和三块小饼干，2个孩子的胃口值分别是1,2。你拥有的饼干数量和尺寸都足以让所有孩子满足，所以输出2。

输入：g =[1,2],s=[1,2,3]

输出：2

1.现有如下饼干和孩子，试求其输出。

第一组：

g=[1 2 2 3 5 6 8 10]

s=[1 1 2 2 4 5 5 6 7 8 9 10]

第二组：

g=[12 5 8 1 5 3 7 5 8 6]

s=[15 6 8 5 2 8 7 4 5 1 2 4 3 6]

2.经过和孩子友好协商，孩子同意每个孩子可以有最多两块饼干，针对上述两组饼干和孩子试求能否喂饱更多孩子。

2.2算法设计 (第一部分：每个孩子一块饼干)

采用贪心算法。先对 g 和 s 排序，然后从最小的孩子开始，分配最小的满足条件的饼干。

2.3伪代码实现 (第一部分：每个孩子一块饼干)

function max_satisfied_children(g, s):
  sort g in ascending order
  sort s in ascending order
  count = 0
  i = 0, j = 0
  while i < length(g) and j < length(s):
    if s[j] >= g[i]:
      count = count + 1
      i = i + 1
      j = j + 1
    else:
      j = j + 1
  return count

2.4算法设计 (第二部分：每个孩子最多两块饼干)

仍然采用贪心算法，但需要修改分配策略。先尝试分配一块饼干，如果满足不了，再尝试分配两块。

2.5伪代码实现(第二部分：每个孩子最多两块饼干)

function max_satisfied_children_two(g, s):
  sort g in ascending order
  sort s in ascending order
  count = 0
  i = 0, j = 0
  while i < length(g) and j < length(s):
    if s[j] >= g[i]:
      count = count + 1
      i = i + 1
      j = j + 1
    else:
      k = j + 1
      if k < length(s) and s[j] + s[k] >= g[i]:
        count = count + 1
        i = i + 1
        j = k + 1
      else:
        j = j + 1
  return count

通过这两个问题的探讨，我们可以看到算法在解决实际问题中的强大能力。无论是在工业生产中的钢条切割问题，还是在日常生活中的饼干分发问题，算法都能提供高效且经济的解决方案。这些算法不仅体现了数学的精妙，也展示了工程师在解决实际问题时的智慧和创造力。